Curiosidades

Educação Matemática

Estudos sobre o a história do ensino da matemática no Brasil nos levam ao ano de 1730, mas é a partir dos primeiros anos do século XX que se pode identificar o surgimento de um movimento em prol de uma Educação Matemática. Merecem destaque como pioneiros a partir dos anos 30 Euclides Roxo, Malba Tahan, e outros educadores daquela geração. Um importante impulso foi dado nos anos 50 com a organização do primeiro Congresso Brasileiro de Ensino da Matemática, em 1955, realizado na Bahia pela professora Martha de Souza Dantas. Nos anos 60, o Movimento da Matemática Moderna liderado, entre outros, pelo prof. Oswaldo Sangiorgi, levou a matemática às manchetes dos jornais diários. A partir do final dos anos 70 com as contribuições do prof. Ubiratan D´Ambrósio enfatizando a dimensão social e cultural do conhecimento matemático a Educação Matemática brasileira é reconhecida internacionalmente contribuindo para a aquisição de uma identidade como área do conhecimento. A organização do 1º Encontro Nacional de Educação Matemática e a fundação da Sociedade Brasileira de Educação Matemática-SBEM, a partir de 1987, consolidaram toda esta trajetória.

Aplicações em biologia, química e matemática financeira

Função exponencial


A função exponencial expressa um crescimento ou um decrescimento característico de alguns fenômenos da natureza, bem como o funcionamento dos juros compostos, importantes na matemática financeira.

Vamos explorar um pouco algumas dessas aplicações.

1) Geralmente, o crescimento de determinados seres vivos microscópicos, como as bactérias, acontece exponencialmente. Dessa forma, é comum o uso de funções exponenciais relacionado a problemas dessa natureza.

Exemplos:

A) (PUC/MG - adaptada) - O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas o número de bactérias será:



Resolução:

No tempo t = 0, o número de bactérias é igual a 8.
No tempo t = 1, o número de bactérias é dado por 8.2 = 16.
No tempo t = 2, o número de bactérias é dado por 8.2.2 = 32.
Assim, no tempo t = x, o número de bactérias é dada por .
Logo, no tempo desejado, ou seja, ao fim de 10 horas, o número de bactérias será de .

Resposta: E.

A função do 2º grau está presente na Física

A função do 2º grau está presente em inúmeras situações cotidianas, na Física ela possui um papel importante na análise dos movimentos uniformemente variados (MUV), pois em razão da aceleração, os corpos variam a velocidade e o espaço em função do tempo.

Uma função do 2º grau obedece à seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c,
na Física a expressão que relaciona o espaço em função do tempo é dada pela expressão S = S₀ + V₀t + (at²)/2, onde
a: aceleração, S: espaço, V: velocidade e t: tempo.

Exemplo 1

Um móvel realiza um MUV obedecendo à função S = 2t² - 18t + 36, sendo s medido em metros e t em segundos. Em que instante o móvel muda de sentido?

Resolução:
A equação do movimento é do segundo grau, então ela descreve uma parábola crescente (a > 0), a mudança de sentido do móvel dará no momento em que ele atingir o ponto mínimo da parábola. Observe a ilustração do movimento do móvel:

Devemos calcular o ponto mínimo da parábola, dado por:


Exemplo 2

Um canhão atira um projétil (figura), descrevendo a função s = -9t² + 120t, sendo s em metros e t em segundos. Calcule o ponto máximo de altura atingida pelo projétil.





Resolução:
A função do movimento do projétil descreve uma parábola decrescente (a <>

Ponto máximo

Funções x Aplicações de Funções : Como se usa as Funções no Cotidiano ? Como se usa as Funções no Dia a Dia ?

Em muitas coisas, algumas tão simples que ninguém se dá conta.
Por exemplo, a cada pessoa do mundo corresponde um nome.
Temos uma função nome definida no conjunto das pessoas e que, a cada uma delas associa seu nome. Não é uma função injetora, pois várias pessoas podem ter o mesmo nome.

Outra bem simples: Você toma R$ 1000 emprestados a uma taxa mensal de de juros "j" para pagar após "n" meses. Então, ao final deste perído você vai pagar o valor V(n,j) = 1000 *(1+j) ^ n. O valor a pagar é função de j e de n.

A função é um "modo especial" de relacionar grandezas .

Nesse tipo de relação, duas grandezas (x) e (y) se
relacionam de tal forma que :

. (x) pode assumir qualquer valor em um conjunto (A) dado ;

. a cada valor de (x) corresponde um único valor de (y) em um dado conjunto (B)

. os valores que (y) assume dependem dos valores assumidos por (x) .

Em nosso dia-a-dia , há muitos exemplos de funções , dentre eles , temos :

* a altura de uma criança é função de sua idade ;

* o tempo de viagem é função , entre outras coisas , da distância percorrida ;

* o consumo de combustível é função , entre outras coisas , da velocidade ;

* o imposto de renda é função do salário .

É também muito comum ,usarmos gráficos ilustrando a dependência de uma grandeza em relação a outra , que podem ser feitos em forma de barras , colunas , círculos ou linhas .

A partir desses gráficos , podemos obter diferentes informações sobre as funções por eles representadas .

Como , por exemplo , um gráfico que represente a variação da dívida do setor público em função do tempo decorrido , bastante utilizado nas colunas econômicas de jornais e revistas .

Função Quadrática

Definição de Função Quadrática

Uma função quadrática ou do 2º grau é aquela cujo o gráfico é uma parábola. Essa função é representada por f(x)= ax2 + bx + c, sendo a, b e c números reais.

Alguns exemplos de função quadrática:

f(x) = x ²- 2x + 1

f(x) = x²

Aproveite para lembrar os alunos de alguns conceitos de potenciação, especialmente no que diz respeito ao quadrado de um número. Um bom começo para envolver os alunos no trabalho com a função quadrática é usando a função f(x) = x² . Pode-se construir um gráfico dessa função com os alunos, abordando sobre o quadrado de alguns números positivos e negativos e marcando pontos em um plano cartesiano para formar uma parábola, como a apresentada abaixo. Essa atividade cria boas condições para que ocorra um melhor entendimento do conteúdo.

É importante criar uma tabela com alguns valores de x e determinar os valores de y com os alunos, marcando os pontos no plano.

X	Y
-4	16
-2	4
0	0
2	4
4	16

Aplicações da Função Quadrática

Existem objetos de aprendizagem que contribuem muito para que os alunos aprendam a relacionar variáveis em uma função, realizar experimentos, alterar valores e verificar relações de causa e efeito. Eis o objeto recomendado para a atividade usando computadores na escola:

Sistema de coordenadas cartesiano

Chama-se Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço cartesiano ou plano cartesiano um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com n dimensões. Cartesiano é um adjetivo que se refere ao matemático francês e filósofo Descartes que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria euclidiana. Os seus trabalhos permitiram o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, o cálculo e a cartografia. A idéia para este sistema foi desenvolvida em 1637 em duas obras de Descartes.

Quadrantes

O plano cartesiano contém dois eixos perpendiculares entre si. A localização de um ponto P no plano cartesiano é feita pelas coordenadas do plano V (abscissa e ordenada - x, y).

Quando se representam duas grandezas diretamente proporcionais num referencial cartesiano, todos os pontos pertencem a uma reta que passa pela origem que se chama vival(ulteral)

Nos quadrantes I e III os sinas de x,y são os mesmos (+,+) e (-,-), já nos quadrantes II e IV os sinas de x,y são opostos (-,+) e (+,-), respectivamente.

Quadrantes das bissetrizes ímpares ( quadrantes I e III ) Quadrantes das bissetrizes pares ( quadrantes II e IV )

Para que serve um gráfico ?

Um gráfico serve para visualizar a informação de maneira mais direta, ou seja, apenas olhando a forma da função. Por exemplo, em um gráfico de Velocidade X Tempo você consegue saber se o carro está acelerando ou desacelerando só de ver que a reta está na ascendente ou descendente, respectivamente. Ver este tipo de informação em uma equação, não é tão direto assim. A representação gráfica de um problema pode ajudar muito a encontrar sua solução bem como a representação gráfica de uma solução pode ajudar muito a sua melhor compreensão.

Joseph-Louis Lagrange

Após a leitura do ensaio de Halley, exaltando a superioridade do cálculo sobre os métodos aritmético e geométrico dos gregos, dedicou-se à matemática, e logo dominou a moderna análise de sua época.

Aos dezasseis anos tornou-se professor de matemática na Escola Real de Artilharia de Turim. Desde o começo foi um analista, nunca um geômetra, o que pode ser observado em Méchanique Analytique (Mecânica Analítica), sua obra prima, projectada aos 19 anos, mas só publicada em Paris em 1788, quando Lagrange tinha cinquenta e dois anos. “Nenhum diagrama (desenho) será visto neste trabalho”, diz ele na abertura de seu livro, e acrescenta que “a ciência da mecânica pode ser considerada como a geometria de um espaço com quatro dimensões – três coordenadas cartesianas e um tempo-coordenada, suficientes para localizar uma partícula móvel tanto no espaço quanto no tempo”.

Organizou as pesquisas desenvolvidas pelos associados da Academia de Ciências de Turim. O primeiro volume das memórias da academia foi publicado em 1759, quando Lagrange tinha vinte e três anos.

Aos vinte e três anos aplicou o cálculo diferencial à teoria da probabilidade, indo além de Isaac Newton com um novo começo na teoria matemática do som, trazendo aquela teoria para o domínio da mecânica do sistema de partículas elásticas (ao invés da mecânica dos fluidos), sendo também eleito como membro estrangeiro da Academia de Ciências de Berlim (2 de Outubro de 1759).

Entre os grandes problemas que Lagrange resolveu encontra-se aquele da oscilação da Lua. Por que a Lua apresenta sempre a mesma face para a Terra? O problema é um exemplo do famoso “Problema dos Três Corpos” – a Terra o Sol e a Lua – atraindo-se uns aos outros, de acordo com a lei do inverso do quadrado da distância entre os seus centros de gravidade. Pela solução deste problema recebeu o Grande Prémio da Academia Francesa de Ciências, aos vinte e oito anos.

Tais sucessos levaram o Rei da Sardenha a oferecer a Lagrange todas as despesas pagas de uma viagem a Paris e Londres.

Ficou em Berlim vinte anos, onde se casou e enviuvou, tendo exercido a função de diretor da divisão físico-matemática da Academia de Berlim, onde fazia e refazia seus trabalhos, nunca se satisfazendo com o resultado, o que significou um desespero para os seus sucessores.

Em carta escrita para D’Alembert, em 1777, diz: “eu tenho sempre olhado a matemática como um objecto de diversão, mais do que de ambição, e posso afirmar para você que tenho mais prazer nos trabalhos de outros do que nos meus próprios, com os quais estou sempre insatisfeito”. E, em outra carta histórica de 15 de Setembro de 1782, diz ter quase terminado seu tratado de Mécanique Analytique, acrescentando que, como ainda não sabia quando nem como seria o livro impresso, não estava se apressando com os retoques finais.

Com a morte de Frederico o Grande, em 17 de agosto de 1786, solicitou sua dispensa. Foi permitida sob a condição de que continuasse a remeter trabalhos para a academia pelo período de alguns anos.

Voltou a seus trabalhos matemáticos como membro da Academia Francesa a convite de Luís. Foi recebido em Paris, em 1787, com grande respeito pela família real e pela academia. Viveu no Louvre até a Revolução, tendo-se tornado o favorito de Maria Antonieta.

Aos cinquenta e um anos, Lagrange sentia-se acabado. Era um caso claro de exaustão nervosa, pelo longo período de trabalho excessivo. Falava pouco, parecia estar sempre distraído e melancólico. Era a triste figura da indiferença, tendo perdido, inclusive, o gosto pela matemática.

A Tomada da Bastilha quebrou sua apatia. Recusou-se a deixar Paris. Quando o terror chegou, arrependeu-se de ter ficado. Era tarde para escapar. As crueldades destruíram a pouca fé que ele ainda tinha na natureza humana.

Terminada a revolução, foi tratado com muita tolerância. Um decreto especial garantiu-lhe uma pensão, e quando a inflação reduziu sua pensão a nada, foi indicado para professor da Escola Normal, que teve vida efêmera. Foi então indicado para professor da Escola Politécnica, fundada em 1797, tendo planejado o curso de matemática, sendo seu primeiro professor.

Em 1796, quando a França anexou o Piemonte a seu território, Taillerand foi enviado como emissário para dizer a seu pai, ainda vivendo em Turim: “seu filho, orgulho de Piemonte que o produziu, e da França que o possui, honra toda a humanidade por seu génio”.

Referindo-se a Isaac Newton, ele disse: “foi certamente o génio por excelência mas temos que concordar que ele foi também o que mais sorte teve: só se pode encontrar uma única vez o sistema solar para ser estabelecido. Ele teve sorte de ter chegado quando o sistema do mundo permanecia ignorado”.

Notando-lhe a enlevação alheada, durante uma sessão musical, alguém perguntou o que ele achava da música. E ele respondeu: “a música me isola; eu ouço os três primeiros compassos; no quarto eu já não distingo mais nada; entrego-me aos meus pensamentos; nada me interrompe; e é assim que eu tenho resolvido mais de um problema difícil.”

Seu último trabalho científico foi a revisão e complementação da Mécanique Analytique para a segunda edição, quando descobriu que seu corpo já não obedecia à sua mente. Morreu na manhã do dia 10 de Abril de 1813, com setenta e seis anos.

Leonhard Euler

Leonhard Paul Euler (Basiléia, 15 de Abril de 1707 — São Petersburgo, 18 de Setembro de 1783) foi um matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. Euler fez importantes descobertas em campos variados nos Cálculos e grafos (veja:Teoria dos grafos). Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática.

Além disso ficou famoso por seus trabalhos em mecânica, óptica, e astronomia. Euler é considerado um dos mais proeminentes matemáticos do século XVIII. Uma declaração atribuída a Pierre-Simon Laplace manifestada sobre Euler na sua influência sobre a matemática:^[1]

Leia Euler, leia Euler, ele é o comandante [ou seja, professor] de todos nós.

Sua imagem foi incluída à nota de dez francos suíços (a atual tem a efigie de Le Corbusier) e selos postais. O asteróide 2002 Euler foi nomeado em sua homenagem. Ele também é homenageado pela Igreja Luterana em seu calendário de santos em 24 de Maio - ele era um devoto cristão (e crente na Inerrância bíblica).

Jakob Bernoulli

Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli, (Basiléia, 27 de Dezembro de 1654 — Basiléia, 16 de Agosto de 1705) foi o primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas.

Publicou a primeira integração de uma equação diferencial; deu solução ao problema dos isoperímetros, que abriu caminho ao cálculo das variações de Euler e Lagrange e estendeu suas principais aplicações ao cálculo das probabilidades. É considerado o pai do cálculo exponencial. Foi professor de matemática em Basiléia, tendo sido importantíssima sua contribuição à geometria analítica, à teoria das probabilidades e ao cálculo de variações.

Em 1713, depois de sua morte, foi publicado seu grande tratado sobre a teoria das probabilidades Ars Conjectandi, que ainda oferece interesse prático na aplicação da teoria da probabilidade no seguro e na estatística.

Gottfried Leibniz

O pai era professor de filosofia moral em Leipzig e morreu em 1652, quando Leibniz tinha apenas seis anos. Em 1663 ingressa na Universidade de Leipzig, como estudante de Direito. Em 1666 obtém o grau de doutor em direito, em Nuremberg, pelo ensaio prenunciando uma das mais importantes doutrinas da posterior filosofia. Nessa época afilia-se à Sociedade Rosacruz, da qual seria secretário durante dois anos.

Foi o primeiro a perceber que a anatomia da lógica - “as leis do pensamento”- é assunto de análise combinatória. Em 1666 escreveu De Arte Combinatoria, no qual formulou um modelo que é o precursor teórico de computação moderna: todo raciocínio, toda descoberta, verbal ou não, é redutível a uma combinação ordenada de elementos tais como números, palavras, sons ou cores.

Na visão que teve da existência de uma “característica universal”, Leibniz encontrava-se dois séculos à frente da época, no que concerne à matemática e à lógica.

Aos 22 anos, foi-lhe recusado o grau de doutor, alegando-se juventude. Tinha vinte e seis anos, quando passou a ter aulas com Christiaan Huygens, cujos melhores trabalhos tratam da teoria ondulatória da luz. A maior parte dos papéis em que rascunhava suas idéias, nunca revisando, muito menos publicando, encontra-se na Biblioteca Real de Hanôver aguardando o paciente trabalho de estudantes. Leibniz criou uma máquina de calcular, superior à que fora criada por Pascal, fazendo as quatro operações.

Em Londres, compareceu a encontros da Royal Society, em que exibiu a máquina de calcular, sendo eleito membro estrangeiro da Sociedade antes de sua volta a Paris em março de 1673. Em 1676, já tinha desenvolvido algumas fórmulas elementares do cálculo e tinha descoberto o teorema fundamental do cálculo, que só foi publicado em 11 de julho de 1677, onze anos depois da descoberta não publicada de Newton. No período entre 1677 e 1704, o cálculo leibniziano foi desenvolvido como instrumento de real força e fácil aplicabilidade no continente, enquanto na Inglaterra, devido à relutância de Newton em dividir as descobertas matemáticas, o cálculo continuava uma curiosidade relativamente não procurada.

Durante toda a vida, paralelamente à Matemática, Leibniz trabalhou para aristocratas, buscando nas genealogias provas legais do direito ao título, tendo passado os últimos quarenta anos trabalhando exclusivamente para a família Brunswick, chegando a confirmar para os empregadores o direito a metade de todos os tronos da Europa. As pesquisas levaram-no pela Alemanha, Áustria e Itália de 1687 a 1690. Em 1700, Leibniz organizou a Academia de Ciências de Berlim, da qual foi o primeiro presidente. Esta Academia permaneceu como uma das três ou quatro principais do mundo até que os nazistas a eliminaram.

Morreu solitário e esquecido. O funeral foi acompanhado pelo secretário, única testemunha dos últimos dias.

Como surgiu o estudo das funções?

Como surgiu o estudo das funções?

Como um termo matemático, "função" foi introduzido por Leonardo Ferrugem em 1998, para designar qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas às curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos.Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal.A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do séculoXVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciávei sem qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.

Gráficos de função

Gráficos de função

O gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados em da forma , ou seja:

ou equivalentemente:

os termos deste par ordenado são chamados de abcissa e ordenada.

Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela especificação do conjunto de chegada. Assim, se duas funções têm o mesmo gráfico, uma poderá ser sobrejectiva e a outra não. No entanto, a injectividade de uma função é completamente determinada pelo gráfico.

Embora o conceito de gráfico esteja relacionado ao conceito de desenho, pode-se falar do gráfico de funções em espaços de dimensão infinita. Um importante teorema da análise funcional é o teorema do gráfico fechado.

Gráfico em duas dimensões

Pontos marcados no plano cartesiano.

Uma das aplicações mais corriqueiras da idéia de gráfico de uma função é o traçado de uma curva sobre o plano cartesiano de forma a explicitar as "principais" propriedades de uma função.

O gráfico de muitas funções reais específicas recebem nomes especiais. O gráfico de um função afim, ou polinômio do primeiro grau, é chamado de reta; de um polinômio do segundo grau, de parábola; de um polinômio do terceiro grau, de parábola cúbica; da função é uma catenária.

Exemplos

no intervalo [-10 10 -10 10]:

		Logaritmos em várias bases