Educação Matemática
Estudos sobre o a história do ensino da matemática no Brasil nos levam ao ano de 1730, mas é a partir dos primeiros anos do século XX que se pode identificar o surgimento de um movimento em prol de uma Educação Matemática. Merecem destaque como pioneiros a partir dos anos 30 Euclides Roxo, Malba Tahan, e outros educadores daquela geração. Um importante impulso foi dado nos anos 50 com a organização do primeiro Congresso Brasileiro de Ensino da Matemática, em 1955, realizado na Bahia pela professora Martha de Souza Dantas. Nos anos 60, o Movimento da Matemática Moderna liderado, entre outros, pelo prof. Oswaldo Sangiorgi, levou a matemática às manchetes dos jornais diários. A partir do final dos anos 70 com as contribuições do prof. Ubiratan D´Ambrósio enfatizando a dimensão social e cultural do conhecimento matemático a Educação Matemática brasileira é reconhecida internacionalmente contribuindo para a aquisição de uma identidade como área do conhecimento. A organização do 1º Encontro Nacional de Educação Matemática e a fundação da Sociedade Brasileira de Educação Matemática-SBEM, a partir de 1987, consolidaram toda esta trajetória.
segunda-feira, 24 de agosto de 2009
Aplicações em biologia, química e matemática financeira
Função exponencial
A função exponencial expressa um crescimento ou um decrescimento característico de alguns fenômenos da natureza, bem como o funcionamento dos juros compostos, importantes na matemática financeira.
Vamos explorar um pouco algumas dessas aplicações.
1) Geralmente, o crescimento de determinados seres vivos microscópicos, como as bactérias, acontece exponencialmente. Dessa forma, é comum o uso de funções exponenciais relacionado a problemas dessa natureza.
Exemplos:
A) (PUC/MG - adaptada) - O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas o número de bactérias será:
Resolução:
No tempo t = 0, o número de bactérias é igual a 8.
No tempo t = 1, o número de bactérias é dado por 8.2 = 16.
No tempo t = 2, o número de bactérias é dado por 8.2.2 = 32.
Assim, no tempo t = x, o número de bactérias é dada por
.
Logo, no tempo desejado, ou seja, ao fim de 10 horas, o número de bactérias será de
.
Resposta: E.
A função exponencial expressa um crescimento ou um decrescimento característico de alguns fenômenos da natureza, bem como o funcionamento dos juros compostos, importantes na matemática financeira.
Vamos explorar um pouco algumas dessas aplicações.
1) Geralmente, o crescimento de determinados seres vivos microscópicos, como as bactérias, acontece exponencialmente. Dessa forma, é comum o uso de funções exponenciais relacionado a problemas dessa natureza.
Exemplos:
A) (PUC/MG - adaptada) - O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas o número de bactérias será:
Resolução:
No tempo t = 0, o número de bactérias é igual a 8.
No tempo t = 1, o número de bactérias é dado por 8.2 = 16.
No tempo t = 2, o número de bactérias é dado por 8.2.2 = 32.
Assim, no tempo t = x, o número de bactérias é dada por
.Logo, no tempo desejado, ou seja, ao fim de 10 horas, o número de bactérias será de
.Resposta: E.
A função do 2º grau está presente na Física
A função do 2º grau está presente em inúmeras situações cotidianas, na Física ela possui um papel importante na análise dos movimentos uniformemente variados (MUV), pois em razão da aceleração, os corpos variam a velocidade e o espaço em função do tempo.
Uma função do 2º grau obedece à seguinte lei de formação f(x) = ax2 + bx + c,
na Física a expressão que relaciona o espaço em função do tempo é dada pela expressão S = S0 + V0t + (at2)/2, onde
a: aceleração, S: espaço, V: velocidade e t: tempo.
Exemplo 1
Um móvel realiza um MUV obedecendo à função S = 2t2 - 18t + 36, sendo s medido em metros e t em segundos. Em que instante o móvel muda de sentido?
Resolução:
A equação do movimento é do segundo grau, então ela descreve uma parábola crescente (a > 0), a mudança de sentido do móvel dará no momento em que ele atingir o ponto mínimo da parábola. Observe a ilustração do movimento do móvel:
Devemos calcular o ponto mínimo da parábola, dado por:
Exemplo 2
Um canhão atira um projétil (figura), descrevendo a função s = -9t2 + 120t, sendo s em metros e t em segundos. Calcule o ponto máximo de altura atingida pelo projétil.
Resolução:
A função do movimento do projétil descreve uma parábola decrescente (a <>
Ponto máximo
Uma função do 2º grau obedece à seguinte lei de formação f(x) = ax2 + bx + c,
na Física a expressão que relaciona o espaço em função do tempo é dada pela expressão S = S0 + V0t + (at2)/2, onde
a: aceleração, S: espaço, V: velocidade e t: tempo.
Exemplo 1
Um móvel realiza um MUV obedecendo à função S = 2t2 - 18t + 36, sendo s medido em metros e t em segundos. Em que instante o móvel muda de sentido?
Resolução:
A equação do movimento é do segundo grau, então ela descreve uma parábola crescente (a > 0), a mudança de sentido do móvel dará no momento em que ele atingir o ponto mínimo da parábola. Observe a ilustração do movimento do móvel:
Devemos calcular o ponto mínimo da parábola, dado por:
Exemplo 2
Um canhão atira um projétil (figura), descrevendo a função s = -9t2 + 120t, sendo s em metros e t em segundos. Calcule o ponto máximo de altura atingida pelo projétil.
Resolução:
A função do movimento do projétil descreve uma parábola decrescente (a <>
Ponto máximo
Funções x Aplicações de Funções : Como se usa as Funções no Cotidiano ? Como se usa as Funções no Dia a Dia ?
Em muitas coisas, algumas tão simples que ninguém se dá conta.
Por exemplo, a cada pessoa do mundo corresponde um nome.
Temos uma função nome definida no conjunto das pessoas e que, a cada uma delas associa seu nome. Não é uma função injetora, pois várias pessoas podem ter o mesmo nome.
Outra bem simples: Você toma R$ 1000 emprestados a uma taxa mensal de de juros "j" para pagar após "n" meses. Então, ao final deste perído você vai pagar o valor V(n,j) = 1000 *(1+j) ^ n. O valor a pagar é função de j e de n.
A função é um "modo especial" de relacionar grandezas .
Nesse tipo de relação, duas grandezas (x) e (y) se
relacionam de tal forma que :
. (x) pode assumir qualquer valor em um conjunto (A) dado ;
. a cada valor de (x) corresponde um único valor de (y) em um dado conjunto (B)
. os valores que (y) assume dependem dos valores assumidos por (x) .
Em nosso dia-a-dia , há muitos exemplos de funções , dentre eles , temos :
* a altura de uma criança é função de sua idade ;
* o tempo de viagem é função , entre outras coisas , da distância percorrida ;
* o consumo de combustível é função , entre outras coisas , da velocidade ;
* o imposto de renda é função do salário .
É também muito comum ,usarmos gráficos ilustrando a dependência de uma grandeza em relação a outra , que podem ser feitos em forma de barras , colunas , círculos ou linhas .
A partir desses gráficos , podemos obter diferentes informações sobre as funções por eles representadas .
Como , por exemplo , um gráfico que represente a variação da dívida do setor público em função do tempo decorrido , bastante utilizado nas colunas econômicas de jornais e revistas .
Por exemplo, a cada pessoa do mundo corresponde um nome.
Temos uma função nome definida no conjunto das pessoas e que, a cada uma delas associa seu nome. Não é uma função injetora, pois várias pessoas podem ter o mesmo nome.
Outra bem simples: Você toma R$ 1000 emprestados a uma taxa mensal de de juros "j" para pagar após "n" meses. Então, ao final deste perído você vai pagar o valor V(n,j) = 1000 *(1+j) ^ n. O valor a pagar é função de j e de n.
A função é um "modo especial" de relacionar grandezas .
Nesse tipo de relação, duas grandezas (x) e (y) se
relacionam de tal forma que :
. (x) pode assumir qualquer valor em um conjunto (A) dado ;
. a cada valor de (x) corresponde um único valor de (y) em um dado conjunto (B)
. os valores que (y) assume dependem dos valores assumidos por (x) .
Em nosso dia-a-dia , há muitos exemplos de funções , dentre eles , temos :
* a altura de uma criança é função de sua idade ;
* o tempo de viagem é função , entre outras coisas , da distância percorrida ;
* o consumo de combustível é função , entre outras coisas , da velocidade ;
* o imposto de renda é função do salário .
É também muito comum ,usarmos gráficos ilustrando a dependência de uma grandeza em relação a outra , que podem ser feitos em forma de barras , colunas , círculos ou linhas .
A partir desses gráficos , podemos obter diferentes informações sobre as funções por eles representadas .
Como , por exemplo , um gráfico que represente a variação da dívida do setor público em função do tempo decorrido , bastante utilizado nas colunas econômicas de jornais e revistas .
Função Quadrática
Definição de Função Quadrática
Uma função quadrática ou do 2º grau é aquela cujo o gráfico é uma parábola. Essa função é representada por f(x)= ax2 + bx + c, sendo a, b e c números reais.
Alguns exemplos de função quadrática:
f(x) = x 2- 2x + 1
f(x) = x2
Aproveite para lembrar os alunos de alguns conceitos de potenciação, especialmente no que diz respeito ao quadrado de um número. Um bom começo para envolver os alunos no trabalho com a função quadrática é usando a função f(x) = x2 . Pode-se construir um gráfico dessa função com os alunos, abordando sobre o quadrado de alguns números positivos e negativos e marcando pontos em um plano cartesiano para formar uma parábola, como a apresentada abaixo. Essa atividade cria boas condições para que ocorra um melhor entendimento do conteúdo.
É importante criar uma tabela com alguns valores de x e determinar os valores de y com os alunos, marcando os pontos no plano.
| X | Y |
| -4 | 16 |
| -2 | 4 |
| 0 | 0 |
| 2 | 4 |
| 4 | 16 |
Aplicações da Função Quadrática
Existem objetos de aprendizagem que contribuem muito para que os alunos aprendam a relacionar variáveis em uma função, realizar experimentos, alterar valores e verificar relações de causa e efeito. Eis o objeto recomendado para a atividade usando computadores na escola:
sábado, 22 de agosto de 2009
Sistema de coordenadas cartesiano
Sistema de coordenadas cartesiano
Chama-se Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço cartesiano ou plano cartesiano um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com n dimensões. Cartesiano é um adjetivo que se refere ao matemático francês e filósofo Descartes que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria euclidiana. Os seus trabalhos permitiram o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, o cálculo e a cartografia. A idéia para este sistema foi desenvolvida em 1637 em duas obras de Descartes.Quadrantes
O plano cartesiano contém dois eixos perpendiculares entre si. A localização de um ponto P no plano cartesiano é feita pelas coordenadas do plano V (abscissa e ordenada - x, y).
Quando se representam duas grandezas diretamente proporcionais num referencial cartesiano, todos os pontos pertencem a uma reta que passa pela origem que se chama vival(ulteral)
Nos quadrantes I e III os sinas de x,y são os mesmos (+,+) e (-,-), já nos quadrantes II e IV os sinas de x,y são opostos (-,+) e (+,-), respectivamente.
Quadrantes das bissetrizes ímpares ( quadrantes I e III ) Quadrantes das bissetrizes pares ( quadrantes II e IV )
Para que serve um gráfico ?
Um gráfico serve para visualizar a informação de maneira mais direta, ou seja, apenas olhando a forma da função. Por exemplo, em um gráfico de Velocidade X Tempo você consegue saber se o carro está acelerando ou desacelerando só de ver que a reta está na ascendente ou descendente, respectivamente. Ver este tipo de informação em uma equação, não é tão direto assim. A representação gráfica de um problema pode ajudar muito a encontrar sua solução bem como a representação gráfica de uma solução pode ajudar muito a sua melhor compreensão.
Assinar:
Postagens (Atom)
